2025年度大学入学共通テストの情報のサンプル問題を解きました


## 距離、速さ、時間の文章題を丁寧に解説

今回は、中学数学のつまずきがちな文章題の解き方を丁寧に解説します。

1次方程式を利用して解く問題には、パターンが存在します。
**新研究**などの参考書に収録される例題をきちんと理解し、同じ問題を反復することで入試問題でも十分満点を狙えます。

しかし、参考書の解説では、突然式が出来上がっていて、理解できないという方もいると思います。

文章から式を組み立てる部分に焦点を当ててみました。

## 文章題では図を描くこと

数学が苦手な人の多くは図を描かない人が多いです。面倒くさいという気持ちは分かりますが、その事実を認めて、改善していきましょう。
図を描くことは決して**時間のロスにはなりません**。むしろ、理解の助けになり、ミスを防ぎます。
疎かにしている人は、これを機に図を描いてみましょう。
それでは、例題です。

:::info
例題: 太郎さんは自宅から2.4km先にある駅へ行くのに、はじめは毎分80mの速さで歩き、途中から毎分160mの速さで走ったところ、20分かかった。このとき、歩いた時間と走った時間はそれぞれ何分間か求めなさい。
:::

この例題から、まずは図を考えてみましょう。
文章の中で、説明されている値を入れてみた図が以下のようになります。

![文章題から図を描く](/assets/blog/distance-equals-speed-times-time/distance-equals-speed-times-time-6.jpg)

図の描き方

1. 直線は基本的に距離を表すため、長めに描いておきます。その後、カッコを付けて2.4kmと入れます。
2. 例題から直線を、「歩いた距離」と「走った距離」に分ける必要があることが分かります。
   1. 「歩き」側に80m/分と速さを記入
   2. 「走り」側に160m/分と速さを記入
3. 最後に分かっている事は合計で20分だったという事を直線の下側に記入しておきます。

## 図が描けたら求めたい値を考える

先程の手順どおりに図が描けたら、文章題では何を聞かれているのか考えましょう。
問題の多くは、文の最後に「**〜を求めなさい。**」とあるはずです。

今回は、「歩いた時間」と「走った時間」がそれぞれ何分間か求める問題ですね。
求めたい値がある場合、その代わりに文字をおいて、計算するんでしたね。

2つの文字が必要そうに見えますが、手始めに、

$$歩いた時間 = x \footnotesize(分)\footnotesize$$

とおいてみましょう。

そして、**距離の問題**で頭の中を整理するコツは、「**速さ**」ごとに分けて考えることです。
今回で言えば、「**歩き**」と「**走り**」を別々に注目してみるということです。

![文章題から図を描く](/assets/blog/distance-equals-speed-times-time/distance-equals-speed-times-time-5.jpg)

## 距離、速さ、時間の問題に必須の「きはじ」

「歩きの時間」を文字$x$でおいてあげたところで、「歩き」に注目してみましょう。
図から利用できる値は、

- $$速さ = 80 \footnotesize(ｍ/分)\footnotesize$$
- $$時間 = x \footnotesize(分)\footnotesize$$

です。ここでもう一つのポイントですが、「きはじ（みはじ、はじき、等とも言う）の法則（公式）」を理解することです。

![文章題から図を描く](/assets/blog/distance-equals-speed-times-time/distance-equals-speed-times-time-0.jpg)

上の図は、以下の3つの公式を、簡単に図にまとめたモノです。

- $$ きょり（距離・道のり）= 速さ \times 時間 $$
- $$ 速さ = きょり（距離・道のり） \div 時間 $$
- $$ 時間 = きょり（距離・道のり） \div 速さ $$

図にある位置関係を覚えるだけで、公式をその場で作れるようになります。

割り算の部分は、位置関係通り、分数として理解してあげても良いと思います。

## 「歩き」に対して「きはじ」を使い、「距離」をあらわす

以下の図の通り、
「きはじ」を使ったときに、「速さ」に80m/分、「時間」に$x$を入れると、足りなかった「距離」を埋めることが出来ます。

$$
歩いた距離 = 80 \footnotesize(m/分)\footnotesize \times x\footnotesize(分)\footnotesize
$$

となります。

### 余談です（単位計算の解説）

また、図にある通り、**単位**に注目してみましょう。
中学生では、まだ考えた事がないかもしれませんが、単位同士を計算しても実は筋が通っているんです。
「歩いた距離」の単位はm（メートル）なので、右辺の単位を計算すると
$$
\frac{ｍ}{分} \times 分 = ｍ
$$
となり、正しい計算結果だと分かります。
![文章題から図を描く](/assets/blog/distance-equals-speed-times-time/distance-equals-speed-times-time-4.jpg)

## 「走り」に対して「きはじ」を使う

「歩き」と同様に、今度は「走り」に注目して、「きはじ」を使いましょう。
現状、図から利用できる値は、

- $$速さ = 160 \footnotesize(ｍ/分)\footnotesize$$

だけです。
ですが先程、

$$
歩いた時間 = x\footnotesize（分）\footnotesize
$$

とおいた事を思い出しましょう。
すると、
$$

走った時間 = 20分 - 歩いた時間

$$
と、表せる事に気付きます。

![文章題から図を描く](/assets/blog/distance-equals-speed-times-time/distance-equals-speed-times-time-3.jpg)

あとは、以下の図の通り、
「きはじ」に「速さ」160m/分、「時間」に$(20-x)$を入れると、足りなかった「距離」を埋めることが出来るので、

$$
走った距離 = 160 \footnotesize(m/分)\footnotesize \times (20-x)\footnotesize(分)\footnotesize
$$

となります。

![文章題から図を描く](/assets/blog/distance-equals-speed-times-time/distance-equals-speed-times-time-2.jpg)

## 完成した図から方程式を考える

ここまでで必要な値は全て作ることが出来ました。
きちんと、自分で描いた図に書き込んでおきましょう。

すると、以下のように、

$$\footnotesize歩いた距離 ＋ 走った距離 = 家から駅までの距離\footnotesize$$

という関係に気づくことが出来るはずです。

![文章題から図を描く](/assets/blog/distance-equals-speed-times-time/distance-equals-speed-times-time-1.jpg)

後は、立てられた方程式を解き、$x$を求めます。
:::warning
距離の単位は全て$ｍ$に揃えないと計算できません。$ｋｍ$を$ｍ$にするため、
$2.4（ｋｍ）\times 1000 = 2400（ｍ）$を忘れずに！
:::

以下、計算式になります。

$$
\footnotesize
\begin{align*}
80x + 160(20-x) = 2400 \\
80x + 3200 - 160x = 2400 \\
-80x = -800 \\
x = 10 \\
\end{align*}
\footnotesize
$$

よって、歩いた時間は10分となり、
$(20 - x)$分に代入して、

$$
20 - 10 = 10
$$

で、走った時間も10分と分かります。

当会では、本記事のような内容をより分かりやすく授業で扱っております。
長野県の高校入試を見据えて、小中学生を英数メインで指導しております。（高校生も英検準一級まで、および数学と物理を指導します）
ご興味がある方は、お問い合わせ下さい。


距離、速さ、時間の文章問題の解き方を丁寧に解説


## 公式は無理して覚えないこと

多くの生徒さんが、公式が覚えられないとよく言ってきます。
私はその時、「公式は、無理して覚えない事がコツだよ」と返します。
学校の授業はよく出来ています。数学は教科書に公式が載っているけれども、決してただ載せっぱなしなわけではありません。その公式の成り立ちの解説や使い方があり、先生もそれを授業で教えてくれるはずです。

**その公式の成り立ちを理解することで**、いとも簡単に公式を使えるようになるはずです。

以下では、中学１年生で習うおうぎ形の公式の説明していきます。

## おうぎ形とは？

おうぎ形とは、２本の円の半径とその間の円弧に囲まれた図形のことです。ピザやケーキの一切れのような形ですね。
２本の円の半径によって出来る角度の事を「**中心角**」と呼びます。また、ピザで言う耳の部分にあたる曲線部分を「**弧**」と呼びます。

![円とおうぎ形](/assets/blog/how-to-find-the-area-of-a-fan-shape/how-to-find-the-area-of-a-fan-shape-1.jpg)

中学数学では、「**おうぎ形の面積**」と「**弧の長さ**」を求める問題が出てきます。中には円錐を使った表面積を求める問題でも必要になります。
そのため、おうぎ形の公式を覚える必要がありますが、丸暗記しろというわけではありません。
なぜ「そのような公式になるのか？」の仕組みを理解することで、自分で公式を導けるようになります。

### おうぎ形の面積の求め方

おうぎ形はそもそも、大きな円の一部分なので、

1. おうぎ形のもとになる円の面積を考えます。
2. 求めた円の面積のうち、おうぎ形の部分が占める割合を求める。

この手順で、以下の例題を解いていきます。

:::info
例題：　半径3cm、中心角が120°のおうぎ形の面積を求めなさい。
:::

① おうぎ形のもとになる円の面積

半径3cmなので、円の面積の公式から、（ここは割愛します）
$$
\footnotesize
\begin{align*}
（もとの円の面積）&= \pi r^{2} \\
&= 3^{2} \pi \\
&= 9\pi
\end{align*}
\footnotesize
$$
ですね。

② もとの円の面積のうち、おうぎ形の部分が占める割合を求める

ここさえ理解できれば、自由自在に公式を導くことができます。
以下の画像にあるとおり、図で見ると、円を３等分しているように見えますね。すると直感的に元の円の面積を$\frac{1}{3}$にしてあげればいいと分かります。
ですが、「３等分すればいい」とどうやって導くのでしょうか。
そこで必要になるのが、「**中心角**」です。
中心角が大きくなれば、おうぎ形そのものも大きくなるように、中心角の大きさとおうぎ形の面積は対応していることがわかります。
とすると、もとの円の面積に対して、おうぎ形の面積を比較するために、「**中心角**」で比較すれば、同様の割合になると考えられますね。

$$
\footnotesize
円の面積:おうぎ形の面積 = \\
円の中心角(360^{\circ}):おうぎ形の中心角(120^{\circ})
\footnotesize
$$
よって、
$$
\footnotesize
おうぎ形の面積 = 円の面積 \times \frac{120^{\circ}}{360^{\circ}}
\footnotesize
$$

実際の計算は以下の画像の通りです。

![おうぎ形の面積](/assets/blog/how-to-find-the-area-of-a-fan-shape/how-to-find-the-area-of-a-fan-shape-2.jpg)
![おうぎ形の面積2](/assets/blog/how-to-find-the-area-of-a-fan-shape/how-to-find-the-area-of-a-fan-shape-3.jpg)

### おうぎ形の弧の長さの求め方

面積の出し方が分かってしまえば、後は簡単です。
というのも、弧の長さの出し方は、面積と同様に比例式から求められるからです。

面積と同様の手順で、以下の例題を解いていきます。

:::info
例題：　半径3cm、中心角が120°のおうぎ形の弧の長さを求めなさい。
:::

比較するものが中心角であることに代わりはありません。
今回求めるモノは、面積ではなく弧の長さですから、円全体の弧の長さというのは、円周に当たります。
という訳で、以下のように比例式をたてることが出来ます。
$$
\footnotesize
円周:おうぎ形の弧の長さ = \\
円の中心角(360^{\circ}):おうぎ形の中心角(120^{\circ})
\footnotesize
$$
よって、
$$
\footnotesize
おうぎ形の弧の長さ = 円周 \times \frac{120^{\circ}}{360^{\circ}}
\footnotesize
$$
そして、実際に解いてみると、以下の画像のようになります。
![おうぎ形の弧の長さ](/assets/blog/how-to-find-the-area-of-a-fan-shape/how-to-find-the-area-of-a-fan-shape-4.jpg)
![おうぎ形の弧の長さ2](/assets/blog/how-to-find-the-area-of-a-fan-shape/how-to-find-the-area-of-a-fan-shape-5.jpg)

このように、考え方から比例式を作ることで、おうぎ形の面積と弧の長さを出す公式まで辿り着いてしまいます。
ですから、公式をそのまま丸暗記して問題を解くのではなく、文章から比例式を立てて演習してみてください。

すると、テストの本番でも暗記した公式が出てこないという心配はなくなります。
すぐに頭の中で解法が浮かぶため、その場で比例式を組み立てられるはずです。

### おうぎ形の公式

![おうぎ形の公式](/assets/blog/how-to-find-the-area-of-a-fan-shape/how-to-find-the-area-of-a-fan-shape-6.jpg)

中学３年生は、一学期の中間テストでおそらく一年生の内容がテスト範囲になっていると思います。
これを機に図形の総復習をしておきましょう。

当会では、本記事のような内容をより分かりやすく授業で扱っております。

:::warning
追記：今年(2022/05)の受講生の中学では、３年の一学期中間テストでバッチリこの問題が出たようです。復習しておいて良かったです。
:::


求め方からおうぎ形の面積と弧の長さの公式を理解する


## 2022年 長野県高校入試 数学 大問3 Ⅱ ②

今回は、2022年度の長野県高校入試から数学の複雑な問題を解説していきます。
実際のテストでこのレベルを解き切るには、普段から解ける問題のパターンを増やし、解き方の手順を自分もものにすることが重要です。
関数の問題は高校生になっても、ひたすら学び続けるため、中学生の時にきちんと概念を理解しておきましょう。
その際は、必ず新研究などの参考書を単元ごと学び直す事がオススメです。出来ると高をくくるコト無く、整理することが基礎の穴埋めにおいて重要です。

:::warning
問題は令和4年 長野県高校入試の数学より抜粋させていただいております。
入試問題の解説には公益性が十分にあるものだと認識して、当会でも扱わせていただきます。
:::

![2022年 長野県高校入試 数学　大問3　Ⅱ(3) ② 問題](/assets/blog/nagano-highschool-math-exam-in-2022/nagano-highschool-math-exam-in-2022-0.png)*大問３ Ⅱ(3) ② 問題*

## 難易度の高そうな問題は逆順で考えていく

問題を見た時に、サクッと解法が浮かばないケースがありますよね。
その場合は、焦らずに問題文で求められている答えから、必要事項を辿っていきましょう。

今回は下の解説1にあるように、$\triangle{APC}$の周の長さが最も短くなるときの$点Pのx座標$を求めます。
では、周の長さが最も短くなるとはどんなときでしょうか。
$辺AC$の長さは固定されているので、$点P$の位置によって、$辺AP＋辺PC$の長さが変動すると考えられますね。
しかし、$辺AP＋辺PC$では、$点P$がどこにあれば、最短なのか分かりません。

そこで、作図の問題を思い出しましょう。折り返した直線の最短距離を求める問題を中学1年生で習うはずです。
解説にあるとおり、$点Cとx軸$について対称となる$点C'$を取ります。
すると、図から分かる通り$AP+PC = AP+PC'$という関係になることがわかります。

後は、直感的にも分かる通り、$AP＋PC'$が曲がること無く、直線になる場合が最短であると言えます。

![2022年 長野県高校入試 数学　大問3　Ⅱ(3) ② 解説1](/assets/blog/nagano-highschool-math-exam-in-2022/nagano-highschool-math-exam-in-2022-1.jpg)*大問３ Ⅱ(3) ② 解説1*

解説１で説明したとおり、必要なのは$点C$の座標です。
これは以下の解説画像のとおり、$\triangle{OBD}$について着目すると$OC$が$AC$と垂直に交わるということから、求めることが出来ます。（$\triangle{OBD}$は直角二等辺三角形）

![2022年 長野県高校入試 数学　大問3　Ⅱ(3) ② 解説2](/assets/blog/nagano-highschool-math-exam-in-2022/nagano-highschool-math-exam-in-2022-2.jpg)*大問３ Ⅱ(3) ② 解説2*

$点C$が判明したら、直線を作るために必要な点Aの座標を求める。
求め方は$\triangle{AOC}=\triangle{AOB}+\triangle{OCB}$を使う。
底辺を共通の$辺OB=6$とし、各高さを$h_{1}, h_{2}$と置き、$\triangle{AOB}+\triangle{OCB} = 27$に代入する。（$点C$が判明しているため、$\triangle{OCB}$の高さを3としても良い。分かりやすさのため、ここでは後から代入している）

![2022年 長野県高校入試 数学　大問3　Ⅱ(3) ② 解説3](/assets/blog/nagano-highschool-math-exam-in-2022/nagano-highschool-math-exam-in-2022-4.jpg)*大問３ Ⅱ(3) ② 解説3*

![2022年 長野県高校入試 数学　大問3　Ⅱ(3) ② 解説4](/assets/blog/nagano-highschool-math-exam-in-2022/nagano-highschool-math-exam-in-2022-3.jpg)*大問３ Ⅱ(3) ② 解説4*

以上で、$点Aと点C$を求められたので、当初の①で言ったとおり、$点Aと点C'$を通る直線$y=ax+b$を求める。
最後に、その直線に$y=0$を代入し、$x軸$との$交点Pのx座標$を出して終了です。

![2022年 長野県高校入試 数学　大問3　Ⅱ(3) ② 解説5](/assets/blog/nagano-highschool-math-exam-in-2022/nagano-highschool-math-exam-in-2022-5.jpg)*大問３ Ⅱ(3) ② 解説5*

当会では、長野県の高校入試を見据えて、小中学生を英数メインで指導しております。（高校生も英検準一級まで、および数学と物理を指導します）
ご興味がある方は、お問い合わせ下さい。


2022年度　長野県高校入試 数学の解説


## 正負の数

中学生になり、突如現れる「符号」という概念と「正負の数」。
意外にも、ここで苦手意識が付く生徒も少なくありません。

こういった些細な所から数学の感覚が分からなくなってしまうので、授業で腑に落ちなかった生徒さんに理解してもらった方法を書いておきます。

:::warning
私の主観的な考察が大いに入っているため、効果が有効であるという科学的な根拠や裏付けはありません。
:::

## 正負の数を性質が逆のアイテムだと考える

ゲームが好きな生徒は多いです。だからこそ、子供心を忘れないように〜という言い訳をしながら自分もゲームをよくします。

それはさておき、正負の数、プラスとマイナスは真逆の性質をもった物質で考える事をオススメしています。
あくまで、飲み込めない生徒に対して噛み砕いた説明であることをご了承ください。
（理解できる生徒にはこの考え方を強制することはありません。）

![プラスとマイナス](/assets/blog/think-of-negative-numbers-as-sugoroku/think-of-negative-numbers-as-sugoroku-2.png)*プラスとマイナス*

## 負の数の引き算について

これが一番の難所だと思います。マイナスという概念を理解できても、マイナスをさらに引くという考えで悩んでしまう。
そんな生徒には、この考え方をオススメしています。

![負の数の引き算はすごろく](/assets/blog/think-of-negative-numbers-as-sugoroku/think-of-negative-numbers-as-sugoroku-1.png)*負の数はすごろくとして考えてみる*

どうでしょうか。「引かれる数」にマイナスがついている時に、よく勘違いしてしまう生徒さんが多いです。
必ず自分が引かれる数の「マス目」にいると思って下さい。

できる子にとっては当たり前に見えるモノを少しでも分かりやすくしていきたいですね。


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